معدل التحلل لل(اضمحلال نشاط إشعاعي)

تسير عملية التحلل بمعدل ثابت ، فإذا كان لدينا عينة من مادة مشعة ، يكون عدد التحللات dN التي تحدث في فترة زمنية مقارها dt متناسبا مع عدد الذرات الكلي.فإذا كان عدد الذرات الكلي N ، يكون احتمال التحلل (−dN/ dt) متناسبا تناسبا طرديا مع dt ، أي أن:

\left(-\frac{dN}{N} \right) = \lambda \cdot dt.

وكل عنصر من العناصر المشعة يتميز بمعدل تحلل خاص به ويسمى(λ). وتعني الإشارة السالبة في المعادلة أن N تنقص مع كل حدث للتحلل. ويمكن حل تلك المعادلة التفاضلية من الدرجة الأولى ونحصل على:

N(t) = N_0\,e^{-{\lambda}t} = N_0\,e^{-t/ \tau}. \,\!

حيث :

N0 هي العدد N عند الزمن (t = 0).

وتبين المعادلة الثانية أن ثابت التحلل λ له وحدة 1/الزمن ، وبالتالي يمكن صيغتها في صورة τ حيث تعطي τ نصف العمر أو عمر النصف لتحلل العنصر.

وعلاقة τ ب {\lambda} كالآتي :

\tau = \frac{1}{\lambda}.

وتمثل الدالة الأسية لأساس الثابت الطبيعي e معدل التحلل في المعادلة الثانية. وفي العادة يكون عدد ذرات العينة كبير جدا مقارب لعدد أفوجادرو بحيث يكون وصف تلك المعادة لمعدل التحلل وصفا جيدا.
Exponential Decay of Nuclei Depending on Decay Constant-de.svg

نفترض الآن أن لدينا ثلاثة عناصر مختلفة مشعة :

الأخضر : عنصر مشع ، ذو نصف عمر 3 سنوات ،
الأزرق : عنصر مشع ، ذو نصف عمر 2 سنة،
الأحمر : عنصر مشع ، ذو نصف عمر 1 سنة.

يبين الرسم البياني المجاور معدل تحلل الذرات للثلاثة عناصر ، أي أنه يبين عدد الذرات التي لم تتحلل بعد كدالة للزمن. وكما نري يتناقص عدد الذرات التي لم تتحلل بعد بمعدل ثابت مميز لكل عنصر وذلك طبقا للمعادلة الثانية أعلاه. ونري أن العنصر ذو النصف عمر طويل (الأحمر) هو الذي يتميز بمعدل صغير للتحلل.
مثال عن التحلل

إذا كان لدينا عينة مشعة تحتوي على 400.000 ذرة مشعة وتتميز بنصف عمر قدره 10 أيام ، فإنه بعد مرور 10 أيام يصبح عدد الذرات التي لا زالت مشعة 200.000 ذرة. وبعد مرور 10 أيام أخرى ثانية ينخفض عدد الذرات المشعة إلى 100.000 ذرة وبعد مرور 10 أيام تالية يصبح عدد الذرات التي لم تتحلل 50.000 وهكذا. لذلك نتحدث عن t_{1/2} ونسميها عمر النصف.
عمر النصف

عمر النصف للمادة مشعة هو الزمن الذي تنخفض فيه الكمية المشعة إلى النصف. ويسمى هذا الزمن الثابت المميز للعنصر عمر النصف ، ويرمز له بالرمز t_{1/2}. ويمكن كتابة عمر النصف كدالة لثابت التحلل أو (متوسط العمر) كالآتي:

t_{1/2} = \frac{\ln 2}{\lambda} = \tau \ln 2.

وبالتعويض عنها في المعادلة الأسية أعلاه نحصل على:

N(t) = N_0 2^{-t/t_{1/2}}. \,

أي أن جزء المادة التي لا زالت مشعة :

2^{-1} = {1/2}

وهذا يعني أنه بعد مرور 3 فترات من فترات نصف العمر ، يبقي في العينة الكمية المشعة التالية :

1/2^3 = 1/8

أي أن متوسط العمر \tau يساوي عمر النصف مقسوما على اللوغاريتم الطبيعي (ln(2 :

\tau = \frac{t_{1/2}}{\ln 2} = 1.442 \cdot t_{1/2}.

ويبلغ عمر النصف = 138 يوم لمادة البولونيوم-210 ، فحين أن يكون متوسط عمرها 200 يوم.
مثال حسابي

يستخدم الكربون-14 في تقدير عمر الصخور والطبقات الأرضية ، وبالتالي هي طريقة لتقدير عمر نباتات أو أحياء عاشت في الماضي واختزنت في تلك الطبقات الأرضية. يتميز الكربون-14 بعمر نصف مقداره 5730 سنة ، ويتحلل بمعدل 14 تحللا في الدقيقة الواحدة ولكل جرام من الكربون الطبيعي (الكربون الطبيعي يحتوي على أغلبية من الكربون-12 ونسبة معينة من الكربون-14).

فإذا عثرنا على عينة (أحفورة) ووجدناها تصدر 4 تحللات /دقيقة/جرام من الكربون فيها ، فما هو عمرها ؟

لحساب العمر نستخدم المعادلة المذكورة أعلاه : U

N = N_0\,e^{-t/ \tau},

حيث:

\frac{N}{ N_0} = 4/14 \approx 0.286,

\tau = \frac{T_{1/2}}{\ln 2} \approx 8267 years,

t = -\tau\,\ln\frac{N}{ N_0} \approx 10360 years.